2. Visualisierung von Bilddaten mit MATLAB:
Wichtig f¨¹r eine Klasse von Bildverarbeitungsfiltern sind Eigenwerte einiger Matrizen. Wir sollen die Bilddaten einlesen und die Eigenwerte der Hesse-Matrix betimmen.
Zu Beginn erklären wir die Grundlagen zur Verarbeitung von 2D Bilder. Nach Aufnahme der Bilder entstehen zweidimensionale Punktfelder, die ein 2D-Gitter ergeben. Ein Punkt auf diesem 2D-Gitter wird Pixel genannt. Ein Pixel eines Graustufenbildes repräsentiert die Intensität an einer bestimmten Gitterposition. F¨¹r die Angabe der Position des Pixels ist die Matrixnotation ¨¹blich. Der erste Index, gibt die Position der Zeile und der zweite, die Position der Spalte an.
- Partielle Ableitung des Bildes
Die Intensität eines Bildpunktes in einem 2D Bild entspricht dem Funktionswert einer Funktion, die von zwei Variablen (x,y) abhängig ist.
Eine partielle Ableitung ist die Ableitung einer Funktion mit mehreren Variablen nach einer dieser Variablen. Dabei werden alle Variablen bis auf eine als konstant betrachtet. Nach der nicht als konstant betrachteten Variablen wird dann abgeleitet. So kann eine Funktion maximal so viele erste partielle Ableitungen haben, wie sie Variablen hat.
Die Steigung an einem Bildpunkt eines 2D Bildes in x- und y- Richtung kann wie folgt angenähert werden:
Hier ersetzt man Terme wie Z.B.  durch die Differenz benachbarter Pixel, also  .
Die zweiten partiellen Ableitungen
Die zweite Ableitung besitzt bei einer Kante einen Nulldurchgang. Sie stellt die Ableitung der ersten Ableitung dar und ermittelt die Änderung der Zunahme der Intensitäten, auch Kr¨¹mmungsverhalten genannt.
Bei der zweiten Ableitung werden die schon abgeleiteten Werte nochmals voneinander abgeleitet. Bei einem 2D Bild entstehen durch das partielle Ableiten nach jeweils x und y zusätzlich zwei gemischte Ableitungen.
2. partielle Ableitung von x nach x: 
2. partielle Ableitung von y nach y: 
Gemischt partielle Ableitung von x nach y: 
Gemischt partielle Ableitung von y nach x: 
Die Hesse-Matrix aus den zweiten und den gemischt partiellen Ableitungen
Die zweiten partiellen und die gemischt partiellen Ableitungen eines Bildpunktes können zu einer Matrix zusammenfassen werden.
Eine Matrix mit den Werten der zweiten partiellen und den gemischt partiellen Ableitungen heißt Hesse¨CMatrix.
Die Hesse-Matrix repräsentiert das Kr¨¹mmungsverhalten der Intensität eines Bildpunktes.
Die Eigenwertberechnung von Matrizen ist f¨¹r viele Berechnungen in der Physik von großer Bedeutung. Jede quadratische, symmetrische Matrix kann in reelle Eigenwerte und reelle Eigenvektoren zerlegt und dadurch beschrieben werden. Hat man die Eigenwerte bestimmt, so kann man die Eigenvektoren einfach in jedem Bildpunkt zeichnen. Die Zahl der Eigenvektoren und Eigenwerte ist abhängig von der Dimension der Matrix. Eine Matrix hat so viele Eigenwerte und ¨Cvektoren wie Dimensionen.
In MATLAB können die Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix mit dem Befehl eig bestimmt werden.
- W=eig( A ) liefert die Eigenwerte der Matrix A
- [ V, D ]=eig( A ) liefert in V eine Matrix mit normierten Eigenvektoren von A und in D eine Diagonal-Matrix mit den Eigenwerten als Einträgen
Die Eigenwerte und Eigenvektoren der Hesse-Matrix repräsentieren die Orientierung des Kr¨¹mmungsverhaltens. Hohe Eigenwerte repräsentieren dabei eine hohe Kr¨¹mmung in die Richtung des korrespondierenden Eigenvektors, während Eigenwerte, die gegen Null tendieren, darauf hinweisen, dass in die Richtung des korrespondierenden Eigenvektors keine bedeutende Änderung/Kr¨¹mmung im Bild stattfindet.
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