Motivation

Spezifische Situationen erfordern spezifische Herangehensweisen.
Das gilt insbesondere für die Berechnung von Distanzen zwischen zwei Punkten, wenn der zugrunde liegende Raum oder die erlaubten Verbindungswege gewissen Einschränkungen unterliegen. In solchen Fällen sind klassische Metriken wie die euklidische Distanz oft nicht ausreichend, und es bedarf angepasster Modelle zur Distanzberechnung.
Eine solche angepasste Metrik ist die sogenannte Karlsruhe Metrik. Sie erlaubt die Bestimmung von Entfernungen im polaren Koordinatensystem, wobei die Verbindung zwischen zwei Punkten ausschließlich entlang von Strecken erfolgen darf, die entweder radial zum Pol verlaufen oder konzentrisch um ihn herum. Dieses Verhalten lässt sich als eine polare Variante der Manhattan-Metrik interpretieren.

Im Rahmen meines Fortgeschrittenenpraktikums im Sommersemester 2025 unter der Betreuung von Dr. Susanne Krömker habe ich mich mit der Frage beschäftigt, wie sich dieses Konzept sinnvoll auf den dreidimensionalen Raum übertragen lässt. Dabei standen insbesondere die geometrische Erweiterung der Karlsruhe Metrik, die Konstruktion entsprechender Voronoi-Diagramme sowie die Anwendung geeigneter Projektionsverfahren im Fokus.
Die Ergebnisse dieser Arbeit und die entwickelten Ansätze zur Visualisierung und Analyse möchte ich im Folgenden vorstellen.

Abstands Metriken

Euklidische Norm

Die euklidische Norm beschreibt den direkten Abstand zwischen zwei Punkten im n-dimensionalen reellen Raum. Dabei wird die Distanz entlang der kürzesten Verbindungslinie (also eines Geradensegments) zwischen den Punkten gemessen, ohne dass Einschränkungen hinsichtlich der zugrunde liegenden Geometrie bestehen. Sie stellt somit die intuitivste und in vielen alltäglichen Anwendungen gebräuchlichste Metrik dar.

Mathematisch entspricht sie der L²-Norm und wird wie folgt berechnet:

\[d_e(q,p) = \sqrt{\sum_{i=0}^n}(q_i - p_i)^2\]

Manhattan Metrik

Die Manhattan-Metrik basiert auf der Vorstellung eines Taxifahrers, der sich in der Innenstadt von New York (insbesondere im Stadtteil Manhattan) von einem Punkt zu einem anderen bewegen möchte und dabei die tatsächlich zurückgelegte Strecke berechnen will. Da das Straßennetz in Manhattan (ähnlich wie in Mannheim) einem regelmäßigen Gittermuster folgt, das durch rechteckige Häuserblocks strukturiert ist, kann die euklidische Norm zur Distanzberechnung nicht sinnvoll angewendet werden.

Euklidische und Manhattan Abstands-Metrik im 2D euklidischen Raum [DeWet2024]

Vor diesem Hintergrund wurde die Manhattan-Metrik entwickelt. Sie bestimmt die Entfernung zwischen zwei Punkten unter der Einschränkung, dass die Bewegung ausschließlich entlang von Achsen-parallelen Streckenabschnitten erfolgt. Die Gesamtdistanz ergibt sich aus der Summe der horizontalen und vertikalen Teilstrecken, die beide Punkte miteinander verbinden.

Mathematisch entspricht diese Metrik der L¹-Norm:

\[d_m(q,p) = \sum_{i=0}^n|q_i - p_i\|]

Karlsruhe Metrik

Die Grundidee der Manhattan-Metrik, Distanzen unter Einschränkungen auf bestimmte Bewegungsrichtungen zu berechnen, lässt sich auch auf andere geometrische Situationen übertragen. Ein Beispiel hierfür ist das Straßennetz rund um das Karlsruher Schloss. In diesem Bereich verlaufen die Straßen entweder radial vom Schloss ausgehend oder konzentrisch um das Schloss herum.

Straßennetz um das Karlsruher Schloss [Thran1739]

Zur Berechnung der Distanz zwischen zwei Punkten innerhalb dieses Netzes sind weder die euklidische Metrik, die der Luftliniendistanz entspricht, noch die Manhattan-Metrik geeignet. Stattdessen wird eine spezielle Metrik verwendet, die sich an der Struktur des Straßennetzes orientiert und im polaren Koordinatensystem formuliert wird. Dabei dient das Schloss als Ursprung.
Die Karlsruhe-Metrik misst die Entfernung zwischen zwei Punkten entlang von zulässigen Wegabschnitten. Diese bestehen aus radialen Strecken, die vom Ursprung ausgehen, sowie aus kreisförmigen Bögen, die konzentrisch um den Ursprung verlaufen. Je nach Lage der Punkte ergeben sich zwei mögliche kürzeste Wege:

Wenn die Punkte nahe beieinander liegen, ergibt sich die Distanz aus der Summe der radialen Differenz und der Länge des Kreisbogens, der durch den näher am Ursprung liegenden Punkt verläuft.
Wenn die Punkte nahezu gegenüberliegen, ist es kürzer, beide Punkte über den Ursprung zu verbinden. In diesem Fall ergibt sich die Distanz aus der Summe der radialen Abstände beider Punkte zum Ursprung.

Karlsruhe-Distanz entlang entlang Uhrsprungstrahl und Kreisbogen
[geändert nach Brummer]

Karlsruhe-Distanz über Pol
[geändert nach Brummer]

Zur Auswahl des geeigneten Pfads wird das kleinste Bogenmaß zwischen den Punkten betrachtet. Ist das Bogenmaß kleiner oder gleich zwei, wird die erste Variante verwendet. Liegt es darüber, kommt die zweite Variante zur Anwendung.

\begin{align} d_e(p_1, p_2) & = \begin{cases} \min(r_1, r_2) \cdot \delta(p_1, p_2) + |r_1-r_2|& \text{wenn} \delta(p_1, p_2) \leq 2\\ r_1 + r_2, & \text{ansonsten} \end{cases} \\ \delta(p_1, p_2) &= min(|\varphi_1, \varphi_2|, 2\pi - |\varphi_1, \varphi_2|) \end{align}

Theoretische Umsetzung - 3D Erweiterung der Karlsruhe Metrik

Ansatz

Für die Erweiterung der Karlsruhe-Metrik in die dritte Dimension ergeben sich zwei mögliche Umsetzungsmöglichkeiten:

Ein Raum, der den gesamten sphärischen Raum umfasst, wobei der Ursprung im Zentrum liegt und die radialen Strecken zu den Polen als Bezugslinien für die Distanzberechnung dienen.
Ein Raum, der auf die Oberfläche einer Sphäre mit konstantem Radius beschränkt ist. Hier bilden der Nord- und Südpol die beiden Pole der Metrik.

Im Folgenden werden Punkte als sphärische Koordinaten auf der Oberfläche einer Sphäre beschrieben. Jeder Punkt wird durch drei Parameter definiert:

r : der Radius der Sphäre, welcher für alle Punkte konstant ist
𝜃 : der Azimutwinkel (Breitengrad), angegeben als Wert im Bereich [ 0, 2𝜋 ]
𝜙 : der Polarwinkel (Längengrad), angegeben als Wert im Bereich [ 0, 𝜋 ] , wobei 𝜙 = 0 dem Nordpol und 𝜙 = 𝜋 dem Südpol entspricht

Sphärische Koordinaten [Ag2gaeh2015]

Da die Punkte ausschließlich auf der Oberfläche der Sphäre liegen, bleibt der Radius r konstant und kann bei Berechnungen als feste Größe behandelt werden.

Konzept

Die Grundidee besteht darin, die Struktur der zweidimensionalen Karlsruhe-Metrik auf eine Sphäre zu übertragen. Dazu werden zwei Bezugspunkte (metaphorisch als "Schlösser") am Nord- und Südpol platziert. Die zugelassenen Wege verlaufen entlang von Breiten- und Längenkreisen, analog zu radialen und konzentrischen Straßen im ursprünglichen Modell.
Das verfolgte Konzept sieht vor, die Metrik jeweils hemisphärisch anzuwenden. Befinden sich beide Punkte auf derselben Hemisphäre und liegen sich relativ zum nächstgelegenen Pol nahezu gegenüber, so wird die Distanz als Summe der Abstände beider Punkte entlang der Sphäre zum entsprechenden Pol berechnet.
In allen anderen Fällen ergibt sich die Distanz aus zwei Komponenten:

Der Länge der Differenz der Breitengrade,
und der Länge der minimalen Differenz der Längengrade, gemessen vom Punkt, der näher an einem der Pole liegt.

3D Karlsruhe-Distanz entlang Längen- und Breitenkreisen
[geändert nach Lang2016]

3D Karlsruhe-Distanz über einen Pol
[geändert nach Lang2016]

Distanz über Pole

Die Distanz über die Pole wird berechnet, indem die Längengradkoordinaten beider Punkte addiert und mit dem Radius der Sphäre multipliziert werden. Die kürzeste Verbindung ergibt sich durch den Vergleich der beiden möglichen Wege über den Nord- bzw. Südpol.

Distanz über Nordpol: \[d_{NP}(p_1, p_2)=R\cdot(\varphi_1 + \varphi_2)\]

Distanz über Südpol: \[d_{SP}(p_1, p_2)=R\cdot(|\pi-\varphi_1|+|\pi-\varphi_2|)\]

Poldistanz: \begin{align*} d_P(p_1, p_2)&=\min(d_{NP}(p_1, p_2), d_{SP}(p_1, p_2))\\ &= R\cdot\min\big(\varphi_1 + \varphi_2, |\pi-\varphi_1|+|\pi-\varphi_2|\big) \end{align*}

Distanz über Längen- und Breitenkreise

Die Distanz zwischen zwei Punkten auf der Oberfläche einer Sphäre kann entlang von Längen- und Breitenkreisen berechnet werden. Zunächst wird die Differenz der Breitengrade bestimmt, wobei die Berechnung am Punkt beginnt, der dem nächstgelegenen Pol am nächsten liegt. Diese Komponente entspricht der Bewegung entlang eines Längenkreises, also der vertikalen Strecke.
Anschließend wird die horizontale Komponente ermittelt, die der Bewegung entlang eines Breitenkreises entspricht. Sie ergibt sich aus der Differenz der Längengrade beider Punkte, gemessen entlang des Breitenkreises, auf dem sich der näher am Pol liegende Punkt befindet.
Die Gesamtdistanz setzt sich somit aus zwei orthogonalen Anteilen zusammen:

einer vertikalen Komponente entlang eines Längenkreises (Breitengradunterschied),
und einer horizontalen Komponente entlang eines Breitenkreises (Längengradunterschied).

Breitegraddistanz:\begin{align*} \delta_\varphi(p_1, p_2)&=|\varphi_1-\varphi_2|\\ d_{bG}(p_1, p_2)&=R\cdot\min(\sin(\varphi_1), \sin(\varphi_2))\cdot\delta_\varphi(p_1, p_2) \end{align*}

Längengraddistanz: \begin{align*} \delta_\theta(p_1, p_2)&=|\min(|\theta_1-\theta_2|, 2\pi - |\theta_1-\theta_2|)|\\ d_{lG}(p_1, p_2)&=R\cdot\delta_\theta(p_1, p_2) \end{align*}

Distanz über Längen- und Breitenkreise: \begin{align*} d_{bGlG}(p_1, p_2)&=d_{lG}(p_1, p_2) + d_{bG}(p_1, p_2)\\ &= R\cdot\big(\min(\sin(\varphi_1), \sin(\varphi_2))\cdot \delta_\theta(p_1, p_2) + \delta_\varphi(p_1, p_2)\big) \end{align*}

Sphärische Karlsruhe Distanz Metrik

\begin{align*} \delta_\varphi(p_1, p_2) &= |\varphi_1 - \varphi_2|\\ \delta_\theta(p_1, p_2) &= |\min(|\theta_1 - \theta_2|, 2\pi - |\theta_1 - \theta_2|)|\\ d(p_1, p_2)&= R\cdot \begin{cases} \min\big(\sin(\varphi_1), \sin(\varphi_2)\big)\cdot \delta_\theta(p_1, p_2) + \delta_\varphi(p_1, p_2)& \text{wenn}\ \delta_\varphi(p_1, p_2) \leq 2\\ \min\big(\varphi_1 + \varphi_2, |\pi-\varphi_1|+|\pi-\varphi_2|\big) & \text{sonst} \end{cases} \end{align*}

Geodätische Distanz

Um die Karlsruhe-Metrik mit einer luftlinienähnlichen Distanzberechnung auf der Oberfläche einer Sphäre vergleichen zu können, wird im Folgenden die geodätische Distanz vorgestellt. Diese entspricht der euklidischen Distanz im sphärischen Raum und liefert die kürzeste Verbindung zweier Punkte entlang der Oberfläche.
Die geodätische Distanz zwischen zwei Punkten auf einer Sphäre ergibt sich aus der Länge des kürzesten Abschnitts eines Großkreises, der beide Punkte miteinander verbindet. Großkreise sind Kreise auf der Sphäre, deren Mittelpunkt mit dem Mittelpunkt der Sphäre übereinstimmt. Sie stellen die sphärischen Analogien zu Geraden im ebenen Raum dar und bilden die Geodäten auf der Kugeloberfläche.

Geodätische Distanz auf Sphäre
[CheCheDaWaff2016]

Voronoi Diagramm

Um die Auswirkungen verschiedener Metriken auf die räumliche Struktur zu veranschaulichen, eignen sich Voronoi-Diagramme besonders gut. Sie bieten eine intuitive Möglichkeit, Distanzverhältnisse im Raum sichtbar zu machen und sind daher ein zentrales Werkzeug in der Visualisierung geometrischer Metriken.
Ein Voronoi-Diagramm unterteilt den Raum in Regionen, die jeweils einem sogenannten Referenzpunkt zugeordnet sind. Jede Region besteht aus allen Punkten, die näher an ihrem zugehörigen Generator liegen als an jedem anderen. Die Grenzen zwischen den Zellen verlaufen entlang der Orte, die zu zwei (oder mehr) Referenzpunkt den gleichen Abstand haben. Diese Diagramme zeigen somit, wie sich der Raum unter einer gegebenen Metrik aufteilt und kann somit sehr gut die Untershiede verschiedener Metriken aufzeigen.

Voronoi-Diagramm mit euklidischem Abstand
[ErtlVoronoi2015]

Voronoi-Diagramm mit Manhattan-Abstand
[ErtlManhattan2015]

Voronoi-Diagramm mit Karlsruhe-Abstand
[Screenshot von Bellaard2017]

Praktische Umsetzung

Visualisierungs-Ansatz

Um die erweiterte Metrik angemessen zu visualisieren und analysieren zu können, fiel die Entscheidung, sie in Form eines Voronoi-Diagramms auf der Oberfläche einer Sphäre darzustellen. Dies schafft eine anschauliche Grundlage für den Vergleich mit bestehenden Metriken, insbesondere der geodätischen Distanz.

Erste Umsetzungsidee: Mesh-basierte Voronoi-Struktur

Ein erster Ansatz bestand darin, ein dreidimensionales Mesh zu erzeugen, das die resultierenden Voronoi-Strukturen als einfache Objekt-Mesh abbildet. Die Umsetzung erwies sich jedoch als sehr komplex, da zur Bestimmung der Zellgrenzen die Metrikformel für jeweils zwei (zur Berechnung von Kanten) oder drei (für Knotenpunkte) Referenzpunkte gleichgesetzt werden müsste. Die Verwendung konditionaler Ausdrücke sowie Funktionen wie max, min und abs innerhalb der Metrik führte dabei schnell zu einer hohen mathematischen und rechentechnischen Komplexität.

Alternativer Ansatz: Shader-basierte Visualisierung

Auf der Suche nach einer praktikableren Lösung entstand die Idee, den Ansatz umzukehren: Anstatt die Kanten und Knoten explizit zu berechnen, werden alle Punkte auf der Sphäre hinsichtlich ihrer Zugehörigkeit zu einer Voronoi-Zelle bestimmt. Die Zellgrenzen ergeben sich dabei implizit als Übergänge zwischen Regionen mit unterschiedlicher Referenzpunktzuordnung.

Da sich zeigte, dass eine visuelle Darstellung zur Untersuchung der Metrik vollkommen ausreicht, wurde der Mesh-basierte Ansatz zugunsten einer Shader-basierten Lösung verworfen. In diesem Verfahren wird das Material eines sphärischen Objekts anhand der gegebenen Referenzpunktmenge eingefärbt, sodass ein Voronoi-Diagramm direkt auf der Oberfläche entsteht.

Der Shader-Ansatz erlaubt es, für jedes Fragment des Objekts iterativ eine Distanzprüfung zu allen Referenzpunkten durchzuführen. So kann für jedes Fragment ermittelt werden, ob es:

zu einem einzelnen Referenzpunkt den geringsten Abstand aufweist (Zellinneres),
zu zwei Punkten denselben Abstand besitzt (Zellkante),
oder zu drei oder mehr Punkten gleich weit entfernt ist (Zellknoten).

Die hohe Rechenleistung moderner Shader macht diesen Ansatz nicht nur effizienter als die Mesh-Erstellung, sondern auch deutlich dynamischer. Zudem ermöglicht er eine Echtzeit-Interaktion durch den Nutzer, wodurch sich die Metrik flexibel untersuchen und mit anderen Distanzmodellen vergleichen lässt.

Technologie

Für die Umsetzung standen mehrere Technologien zur Auswahl.

Eine naheliegende Option war Matplotlib, insbesondere im Kontext eines meshbasierten Ansatzes. Die Darstellung des Voronoi-Diagramms als Netzstruktur mit grafisch verbundenen Knoten wäre damit grundsätzlich gut realisierbar gewesen. Aufgrund der zuvor beschriebenen hohen Komplexität bei der Berechnung von Kanten und Knoten (insbesondere durch die Gleichsetzung der Metrikformeln für mehrere Referenzpunkte und die Verwendung nichtlinearer Funktionen wie max, min und abs) wurde dieser Ansatz jedoch verworfen. Damit schied Matplotlib als geeignete Technologie aus.

Nach der Entscheidung, stattdessen einen Shader-basierten Ansatz zu verfolgen, bin ich bei der Suche nach einer geeigneten Plattform schnell auf die Unity Game Engine gestoßen. Unity bietet eine integrierte Shader-Sprache (Unity Shader Language, USL), mit der sich Shader effizient und flexibel implementieren lassen. Darüber hinaus ermöglicht die Engine eine einfache Einbindung von Benutzerinteraktionen, wodurch das Projekt eine interaktive Komponente erhält.

Ein weiterer Vorteil von Unity liegt in der nahtlosen Integration mit Entwicklungsumgebungen wie Visual Studio. Dies erleichtert nicht nur das Debugging der Skripte, sondern auch die gezielte Analyse und Optimierung der Shader-Logik.

Implementierung

Die Implementierung gliedert sich in drei Hauptkomponenten:

Objekte: Dazu zählen die Sphäre sowie deren zweidimensionale Projektionen. Auf diesen werden die Referenzpunkte als Kindobjekte platziert, die durch Generator-Skripte erzeugt werden.
Shader: Diese sind für die Darstellung der Voronoi-Diagramme verantwortlich. Sie berechnen für jedes Fragment die Distanz zu den Referenzpunkten und färben die Oberfläche entsprechend der zugehörigen Voronoi-Zelle ein.
Benutzereingaben: Interaktive Elemente ermöglichen die Anpassung der Darstellung, der Anzahl der Referenzpunkte sowie der zugrunde liegenden Metrik.

Technischer Aufbau

Punkt-Generatoren

Die Referenzpunkte werden abhängig von der gewünschten Anzahl zufällig auf der Oberfläche der Sphäre verteilt. Hierfür erhalten sie zufällige Werte für die sphärischen Koordinaten 𝜃 und 𝜙 innerhalb ihres jeweiligen Definitionsbereichs. Diese werden anschließend in euklidische Koordinaten umgerechnet, um die Position im lokalen Raum der Sphäre zu bestimmen.

Jedem Referenzpunkt wird ein zufällig generierter Farbwert zugewiesen, der später zur visuellen Darstellung der zugehörigen Voronoi-Zelle verwendet wird. Für jeden Punkt wird ein kleines Sphärenobjekt erzeugt, das als visuelle Repräsentation dient. Diese Objekte sind per Drag-and-Drop durch den Nutzer frei auf der Sphärenoberfläche verschiebbar. Bei jeder Interaktion werden die sphärischen Koordinaten sowie alle davon abhängigen Projektionspunkte synchron aktualisiert. Die Diagramme werden daraufhin neu gerendert, wodurch eine dynamische und interaktive Anpassung der Voronoi-Struktur ermöglicht wird.

Projektionen

Neben der Hauptdarstellung auf der Sphäre werden zwei zweidimensionale Projektionen erzeugt:

Mercator-Projektion: Diese zylindrische Projektion überträgt die Kugeloberfläche auf ein Rechteck, wobei Längengrade als gleichmäßig verteilte vertikale Linien und Breitengrade als horizontale Linien dargestellt werden. Sie bewahrt Winkel, verzerrt jedoch Flächen insbesondere in Polnähe.
Azimutale Projektion: Diese Projektion bildet die Kugeloberfläche auf eine Ebene ab, wobei alle Punkte korrekt in Bezug auf Entfernung und Richtung vom Mittelpunkt dargestellt werden. Sie eignet sich besonders für polzentrierte Darstellungen.

Die Referenzpunkte werden entsprechend der jeweiligen Projektion auf den Projektionsobjekten platziert. Ihre Positionen werden vom ursprünglichen Generator übernommen. Änderungen, die in den Projektionen vorgenommen werden (etwa das Verschieben von Punkten) werden zurück an den Hauptgenerator übergeben, sodass alle Darstellungen synchron bleiben.

Shader

Die Shader sind den jeweiligen Projektionsobjekten zugeordnet. Ihnen wird eine Liste von Referenzpunkten in sphärischen Koordinaten übergeben, zusammen mit den Farben, die den einzelnen Punkten zugewiesen sind. Bei jeder Änderung der Positionen der Referenzpunkte wird der Shader neu geladen, sodass stets eine aktuelle Darstellung des Voronoi-Diagramms erzeugt wird.

Die Distanzberechnung hängt von der gewählten Metrik sowie der verwendeten Projektion ab. Grundsätzlich werden alle Fragmente in sphärische Koordinaten umgerechnet (bei Projektionen entsprechend transformiert), und die Distanz wird gemäß der ausgewählten sphärischen Metrik berechnet.

Benutzereingaben

Zur Untersuchung der sphärischen Karlsruhe-Metrik stehen dem Nutzer verschiedene Einstellmöglichkeiten zur Verfügung, die gezielt einzelne Aspekte der Metrik hervorheben und den Vergleich mit der geodätischen Metrik sowie weiteren Distanzmodellen erleichtern.

Der Nutzer kann unter anderem:

die Anzahl der zu generierenden Referenzpunkte festlegen,
den Radius der Punkte definieren,
und die Positionen der Punkte nach der Generierung manuell anpassen.

Darüber hinaus besteht die Möglichkeit, zwischen der sphärischen Karlsruhe-Metrik und der geodätischen Metrik zu wählen und die Differenz zwischen beiden visuell darzustellen.

Ein weiteres Feature ist die Auswahl zwischen zwei Voronoi-Ansätzen:

Closest-Distance: Jeder Punkt gehört zur Zelle des Referenzpunkts, zu dem er den geringsten Abstand hat.
Furthest-Distance: Jeder Punkt gehört zur Zelle des Referenzpunkts, von dem er am weitesten entfernt ist.

Zusätzlich kann ein "Wachstumsverhalten" der Zellen simuliert werden, bei dem sukzessive nur Fragmente innerhalb eines bestimmten Abstandsbereichs berücksichtigt werden. Dies ermöglicht eine schrittweise Visualisierung der Zellbildung und bietet weitere Einblicke in die Struktur der Metrik.

Show-Case

Closes-Distance Ansatz

Punkte in Polnähe

Voronoi-Diagramm nach Karlsruhe Metrik mit Punkten um einen Pol

Voronoi-Diagramm nach euklidischer Metrik mit Punkten um einen Pol

Voronoi-Diagramm mit Differenz von Karlsruhe und euklidischer Metrik mit Punkten um einen Pol

Punkte in Equatornähe

Voronoi-Diagramm nach Karlsruhe Metrik mit wenigen Punkten in Equatornähe

Voronoi-Diagramm nach euklidischer Metrik mit wenigen Punkten in Equatornähe

Voronoi-Diagramm mit Differenz von Karlsruhe und euklidischer Metrik mit wenigen Punkten in Equatornähe

Übersicht

Voronoi-Diagramm nach Karlsruhe Metrik mit vielen Punkten

Voronoi-Diagramm nach euklidischer Metrik mit vielen Punkten

Voronoi-Diagramm mit Differenz von Karlsruhe und euklidischer Metrik mit vielen Punkten

Furthest-Distance Ansatz

Punkte in Polnähe

Voronoi-Diagramm nach Karlsruhe Metrik und Furthest-Distance Ansatz mit Punkten um einen Pol

Voronoi-Diagramm nach euklidischer Metrik und Furthest-Distance Ansatz mit Punkten um einen Pol

Voronoi-Diagramm mit Differenz von Karlsruhe und euklidischer Metrik und Furthest-Distance Ansatz mit Punkten um einen Pol

Punkte in Equatornähe

Voronoi-Diagramm nach Karlsruhe Metrik und Furthest-Distance Ansatz mit wenigen Punkten

Voronoi-Diagramm nach euklidischer Metrik und Furthest-Distance Ansatz mit wenigen Punkten

Voronoi-Diagramm mit Differenz von Karlsruhe und euklidischer Metrik und Furthest-Distance Ansatz mit wenigen Punkten

Voronoi-Diagramm nach Karlsruhe Metrik und Furthest-Distance Ansatz mit wenigen Punkten (Rückseite)

Voronoi-Diagramm nach euklidischer Metrik und Furthest-Distance Ansatz mit wenigen Punkten (Rückseite)

Voronoi-Diagramm mit Differenz von Karlsruhe und euklidischer Metrik und Furthest-Distance Ansatz mit wenigen Punkten (Rückseite)

Übersicht

Voronoi-Diagramm nach Karlsruhe Metrik und Furthest-Distance Ansatz mit vielen Punkten

Voronoi-Diagramm nach euklidischer Metrik und Furthest-Distance Ansatz mit vielen Punkten

Voronoi-Diagramm mit Differenz von Karlsruhe und euklidischer Metrik und Furthest-Distance Ansatz mit vielen Punkten

Projektionen

Mercator Projektion

Voronoi-Diagramm nach Karlsruhe Metrik in der Mercator Projektion

Voronoi-Diagramm nach euklidischer Metrik in der Mercator Projektion

Voronoi-Diagramm mit Differenz von Karlsruhe und euklidischer Metrik in der Mercator Projektion

Voronoi-Diagramm nach Karlsruhe Metrik in der Mercator Projektion mit Furthest-Distance Ansatz

Voronoi-Diagramm nach euklidischer Metrik in der Mercator Projektion mit Furthest-Distance Ansatz

Voronoi-Diagramm mit Differenz von Karlsruhe und euklidischer Metrik in der Mercator Projektion mit Furthest-Distance Ansatz

Azimuthal Projektion

Voronoi-Diagramm nach Karlsruhe Metrik in der Azimuthal Projektion

Voronoi-Diagramm nach euklidischer Metrik in der Azimuthal Projektion

Voronoi-Diagramm mit Differenz von Karlsruhe und euklidischer Metrik in der Azimuthal Projektion

Voronoi-Diagramm nach Karlsruhe Metrik in der Azimuthal Projektion mit Furthest-Distance Ansatz

Voronoi-Diagramm nach euklidischer Metrik in der Azimuthal Projektion mit Furthest-Distance Ansatz

Voronoi-Diagramm mit Differenz von Karlsruhe und euklidischer Metrik in der Azimuthal Projektion mit Furthest-Distance Ansatz

Erkenntnisse

Im Rahmen der Untersuchung der sphärischen Karlsruhe-Metrik ergeben sich drei zentrale Beobachtungen:

Ähnlichkeit zur Manhattan-Metrik bei Mercator-Projektionen

Die sphärische Karlsruhe-Metrik zeigt strukturelle Ähnlichkeiten zur Manhattan-Metrik, wenn sie auf die Oberfläche einer Sphäre angewendet wird. Dies lässt sich insbesondere durch die Mercator-Projektion veranschaulichen: Wird ein Voronoi-Diagramm, das auf Basis der Karlsruhe-Metrik auf der Sphäre erzeugt wurde, auf eine Ebene projiziert, ergibt sich eine visuelle Aufteilung, die der typischen Struktur eines Manhattan-basierten Voronoi-Diagramms entspricht. Die Kanten beider Voronoi Diagramme verlaufen gleichmäßig horizontal, vertikal und diagonal (bei Mercator Projektion gestreckt / gestaucht analog zur Breitengradverzerrung)

Voronoi-Diagramm mit Manhattan Abstand
[ErtlManhattan2015]

Voronoi-Diagramm mit 3D Karlsruhe Metrik in Mercator Projektion

Ähnlichkeit zur 2D-Karlsruhe-Metrik bei Azimutal Projektionen

Für einzelne Hemisphären lässt sich die sphärische Karlsruhe-Metrik direkt auf die zweidimensionale Variante zurückführen. Dies wird durch die azimutale Projektion deutlich: Projiziert man ein sphärisches Voronoi-Diagramm auf eine kreisförmige Fläche, zeigt sich eine Aufteilung, die der klassischen 2D-Karlsruhe-Metrik entspricht. Die radiale und konzentrische Struktur bleibt dabei erhalten.

Voronoi-Diagramm mit 2D Karlsruhe Metrik
[ErtlVoronoi2015]

Voronoi-Diagramm mit 3D Karlsruhe Metrik in Azimuthal Projektion

Vergleich mit der geodätischen Metrik und Verhalten bei Punktdichte

Bei zunehmender Dichte der Referenzpunkte nähern sich die Voronoi-Diagramme der sphärischen Karlsruhe-Metrik zunehmend denen der geodätischen Metrik an. Die Unterschiede an den Zellgrenzen nehmen dabei tendenziell ab. Allerdings zeigt sich ein gegenläufiges Verhalten abhängig von der gewählten Distanzdefinition:

Im Closest-Distance-Ansatz ähneln sich die Diagramme beider Metriken insbesondere in Äquatornähe, wobei die Diskrepanz mit steigender Punktzahl weiter abnimmt.
Im Furthest-Distance-Ansatz kehrt sich dieses Verhalten in Polnähe um: Hier nimmt die Abweichung zwischen den Diagrammen mit wachsender Punktmenge zu, was auf die asymmetrische Struktur der Metrik in diesen Bereichen zurückzuführen ist.

Quellen

Bilder

#	Author	Website / Veröffentlichung	Jahr	Zuletzt besucht
[DeWet2024]	Rijk de Wet	Manhattan Distance Calculator	2024	18.09.2025
[Thran1739]	Christian Thran	Ansicht von Schloss und Stadt Karlsruhe.jpg	1721	18.09.2025
[Brummer]	Brummer, Josh et al.	MFA Polar Coordinates	-	18.09.2025
[Lang2016]	Lang, C.B., Pucker, N.	Grundlagen der Vektoranalysis	2016	18.09.2025
[Ag2gaeh2015]	Ag2gaeh	Kugelkoord-def.svg	2015	18.09.2025
[ErtlVoronoi2015]	Balu Ertl	Euclidean Voronoi diagram.svg	2015	21.09.2025
[ErtlManhattan2015]	Balu Ertl	Manhattan Voronoi diagram.svg	2015	21.09.2025
[Bellaard2017]	Gijs Bellaard	Basic : Karlsruhe metric voronoi	2015	21.09.2025
[CheCheDaWaff2016]	CheCheDaWaff	Illustration of great-circle distance.svg	2016	21.09.2025